Zur stabilen Homologie der Kongruenzgruppen

On stable homology of congruence groups

De l'homologie stable des groupes de congruence

Aurélien Djament (1)

1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

We show in this work that homology in degree d of a congruence group, in a very general framework, defines a weakly polynomial functor (in the sense of [Djament-Vespa, "foncteurs faiblement polynomiaux"]) of degree at most 2d and we describe this functor modulo polynomial functors of smaller degree. Our main tool is a spectral sequence connecting homology of congruence-like groups and functor homology. We prove and use in a crucial way some properties of some tensor structures and of some derived Kan extensions on polynomial functors. Our results extend especially Suslin (1995) and Church-Miller-Nagpal-Reinhold ( preprint 2017).

On montre dans ce travail que l'homologie en degré d d'un groupe de congruence, dans un contexte très général, définit un foncteur faiblement polynomial (au sens de [Djament-Vespa, "foncteurs faiblement polynomiaux"]) de degré au plus 2d et l'on décrit ce foncteur modulo les foncteurs polynomiaux de degré strictement inférieur. Notre outil principal est une suite spectrale reliant homologie de groupes de type congruence et homologie des foncteurs. Nous montrons et utilisons de façon cruciale des propriétés de certaines structures tensorielles et de certaines extensions de Kan dérivées sur des foncteurs polynomiaux. Nos résultats généralisent notamment Suslin (1995) et Church-Miller-Nagpal-Reinhold (prépublication 2017).

Mots clés: groupes de congruence; homologie des groupes; homologie des foncteurs; foncteurs polynomiaux; extensions de Kan; foncteurs dérivés; suites spectrales; excision en K-théorie algébrique

Domaines: K-théorie et homologie [math.KT]; Catégories et ensembles [math.CT]; Topologie algébrique [math.AT]

Aurélien Djament. De l'homologie stable des groupes de congruence. 2017. ⟨hal-01565891v1⟩