Stochastic methods of data modeling : application to the reconstruction of non-regular data
Méthodes stochastiques de modélisation de données : application à la reconstruction de données non-régulières
Résumé
This work is devoted to the development of a new efficient procedure for the construction of adaptive model-based designs of experiments. It couples kriging theory with design of experiments optimization techniques. Its originality relies on two main ingredients : (i) the definition of a general criterion in the objective function that allows one to take into account the analyst’s choices in order to explore critical regions, (ii) an efficient numerical implementation including a stabilization step to avoid numerical problems due to kriging matrix inversion and a computational cost reduction strategy that allows its use in industrial applications. After a full description of these key points, the resulting efficient algorithm is applied to extend over the French territory a network of probes for environmental monitoring. This study leads to a final design of experiments where the new probes are located in under sampled regions of high population density. Moreover, it can be performed with an affordable computational cost, which is not the case with classical approach based on an optimization over the whole domain.
Les méthodes de modélisation ressortent naturellement en analyse de risques. En effet, les données à traiter sont le plus souvent discrètes car provenant de mesures sur un territoire ou de simulations numériques à l’aide d’un code de calcul par exemple. Parmi les approches classiques, les méthodes stochastiques de type Krigeage ont conduit à des résultats prometteurs. Cependant, pour des raisons économiques ou de coût de calcul, les données d’observations (ou plans d’expériences) servant à construire le modèle de Krigeage sont en faible quantité et on cherche alors à enrichir l’information dans des zones spécifiques qui sont pertinentes pour l’analyse de risque ou qui correspondent à des régions dans lesquelles le phénomène à modéliser présente des non stationnarités. Cette thèse est donc consacrée au développement de nouvelles techniques numériques de planification d’expériences. Un critère générique de planification adaptative est d’abord proposé en étendant les travaux de Picheny et al, analysé et implémenté. Deux problématiques numériques sont abordées ensuite avec à chaque fois une solution pour les résoudre. La première concerne la réduction du coût élevé de calcul de la procédure d’optimisation du critère. Pour cela, des stratégies combinant MSE et IMSE sont introduites. La seconde porte sur la suppression des instabilités numériques dans la résolution du système de Krigeage dues à l’augmentation du nombre de points d’observation. Pour cela, on introduit une nouvelle approche basée sur la construction d’un préconditionneur exploitant la décomposition multi-échelle de la matrice de covariance à l’aide de schémas de subdivision. Ses principaux avantages se situent dans la simplicité de la forme du préconditionneur qui s’obtient pour des noyaux de covariance standards directement à partir de leur transformée de Fourier ou de leur représentation quasi-diagonale. Ces développements méthodologiques sont enfin appliqués dans le cadre des travaux de l’IRSN sur la cartographie de données de mesure et sur la reconstruction de données non stationnaires en mécanique. Ils conduisent à une réduction significative du coût de calcul de la procédure de planification.